Question

10．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若2ccos（C-$\frac{π}{2}$）=asin（π-A）-bcos（$\frac{π}{2}$+B），则圆M：x²+y²=4被直线l：ax-by+c=0所截得的弦长为$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理以及诱导公式化简表达式，求出圆的圆心与半径，利用垂径定理求解即可．

解答 解：由2ccos（C-$\frac{π}{2}$）=asin（π-A）-bcos（$\frac{π}{2}$+B），化简得2csin C=asin A+bsin B，由正弦定理，可得2c²=a²+b²；
圆M：x²+y²=4的圆心为（0，0），半径为r=2，圆心M到直线l：ax-by+c=0的距离为d=$\frac{|c|}{\sqrt{a2+b2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以圆M被直线l所截得的弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{14}$．
故答案为：$\sqrt{14}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，正弦定理的应用，考查计算能力．