Question

20．已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（1）当a=-2时，求f（x）在x=2处的切线方程；
（2）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为22，求它在该区间上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得导数，求得极值点，求出单调区间，可得f（x）的最值，解方程可得a=0，进而得到最小值．

解答 解：（1）f（x）的导数为f′（x）=-3x²+6x+9，
可得切线的斜率为f′（2）=9，切点为（2，20），
所以f（x）在x=2处的切线方程为y-20=9（x-2），
即9x-y+2=0．
（2）令f′（x）=-3x²+6x+9=0，得x=3（舍）或x=-1，
当x∈（-2，-1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在x∈（-2，-1）时单调递减，
当x∈（-1，2）时f'（x）＞0，所以f（x）在x∈（-1，2）时单调递增，
又f（-2）=2+a，f（2）=22+a，
所以f（2）＞f（-2）．
因此f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，
于是有22+a=22，解得a=0．
故f（x）=-x³+3x²+9x，因此f（-1）=-5，
即函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值为-5．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．