Question

14．已知复数z=（2m²-3m-2）+（m²-3m+2）i．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；
（Ⅱ）当m=0时，化简$\frac{{z}^{2}}{z+5+2i}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据实部等于0，虚部不等于0时，复数z是纯虚数，列出方程组，求解即可得答案；
（Ⅱ）当m=0时，z=-2+2i，把z代入$\frac{{z}^{2}}{z+5+2i}$，由复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）当$\left\{\begin{array}{l}{2{m}^{2}-3m-2=0}\\{{m}^{2}-3m+2≠0}\end{array}\right.$时，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}或m=2}\\{m≠1且m≠2}\end{array}\right.$，
即$m=-\frac{1}{2}$时，复数z为纯虚数．               
（Ⅱ）当m=0时，z=-2+2i，
则$\frac{{z}^{2}}{z+5+2i}$=$\frac{（-2+2i）^{2}}{-2+2i+5+2i}=\frac{-8i}{3+4i}=\frac{-8i（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=$\frac{-32-24i}{25}=-\frac{32}{25}-\frac{24}{25}i$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数z是纯虚数所具备的条件，是基础题．