Question

已知函数f（x）=

mx+n

1+x2

是定义在R上的奇函数，且f（1）=

1

2

（1）求实数m，n的值；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）试画出函数 y=f（x）草图．

Answer 1

分析：（1）利用函数是奇函数，确定n的值，利用f（1）=

1

2

，可求m的值；
（2）设定义域内的自变量x₁、x₂满足x₁＜x₂，将相应函数值作差变形得f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，讨论符号得出f（x₁）＜f（x₂），从而得出函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）作出函数在（0，+∞）上的图象，再由函数为奇函数，即可得到函数的草图．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

mx+n

1+x2

是定义在R上的奇函数，
∴对于定义域内的任意实数x，都有f（-x）=-f（x）
即

-mx+n

1+x2

=-

mx+n

1+x2

，∴-mx+n=-mx-n恒成立，∴n=0
又∵f（1）=

1

2

∴

m×1

1+12

=

1

2

，解得m=1
综上m=1，n=0；
（2）由（1）知，f（x）=

x

1+x2

，
任取x₁、x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，可得
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵x₁、x₂∈（-1，1），故1-x₁x₂＞0，1+x12＞0，1+ x22＞0，
∵x₁＜x₂ 故x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
由此可得函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）函数 y=f（x）的草图，如图所示：

点评：本题考查函数的解析式的求解，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的单调性，属于中档题．