【题目】已知复数z的实部和虚部都是整数,
(1)若复数z为纯虚数,且|z﹣1|=|﹣1+i|,求复数z;
(2)若复数z满足z+ 是实数,且1<z+
≤6,求复数z.
【答案】
(1)解:∵z为纯虚数,∴设z=ai(a∈R且a≠0),
又|﹣1+i|= ,由|z﹣1|=|﹣1+i|,
得 =
,解得a=±1,∴z=±i.
(2)解:设z=a+bi(a,b∈Z,且a2+b2≠0).
则z+ =a+bi+
=a+bi+
=a+
+(b﹣
)i.
由z+ 是实数,且1<z+
≤6,∴b﹣
=0,即b=0或a2+b2=10
又1<a+ ≤6,(*)
当b=0时,(*)化为1<a+ ≤6无解.
当a2+b2=10时,(*)化为1<2a≤6,∴ <a≤3.
由a,b∈Z,知a=1,2,3.∴相应的b=±3,± (舍),±1.
因此,复数z为:1±3i或3±i
【解析】(1)复数z为纯虚数,设出复数z,化简|z﹣1|=|﹣1+i|,求出a,即可求复数z;(2)设z=a+bi,化简复数z+ ,利用复数是实数,且1<z+
≤6,求解a,b,即可求复数z.
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【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AD=AB=DC=BC=1,E是PC的中点,面PAC⊥面ABCD.
(1)证明:ED∥面PAB;
(2)若PC=2,PA=,求二面角A﹣PC﹣D的余弦值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知曲线
:
,
:
,
:
,设
与
交于点
.
(1)求点的极坐标;
(2)若直线过点
,且与曲线
交于两不同的点
,求
的最小值.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)过点(1,
),离心率为
,过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为﹣
的直线分别交椭圆C于M,N两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线MN是否过定点D?若过定点D,求出点D的坐标;若不过,请说明理由.
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【题目】设数列是各项均为正数的等比数列,其前
项和为
,且
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设有正整数,使得
成等差数列,求
的值;
(3)设,对于给定的
,求三个数
经适当排序后能构成等差数列的充要条件.
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【题目】已知椭圆.
(1)若椭圆的离心率为,且点
在椭圆上,①求椭圆的方程;
②设分别为椭圆
的右顶点和上顶点,直线
和
与
轴和
轴相交于点
,求直线
的方程;
(2)设 过
点的直线
与椭圆
交于
两点,且
均在
的右侧,
,求椭圆离心率的取值范围.
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【题目】已知在双曲线 中,F1 , F2分别是左右焦点,A1 , A2 , B1 , B2分别为双曲线的实轴与虚轴端点,若以A1A2为直径的圆总在菱形F1B1F2B2的内部,则此双曲线
离心率的取值范围是( )
A.
B.[ ,+∞)
C.
D.
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