Question

设f（x）=x²-x+k，log₂f（a）=2，f（log₂a）=k，（a≠1）
（1）求f（x）
（2）求f（log₂x）的最小值及相应的x值．
（3）x取何值时f（log₂x）＞f（1）且log₂f（x）＜f（1）．

Answer 1

分析：（1）由题意，先由f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a＞0且a≠1），解出a，b的值，得到f（x）的解析式，
（2）再由f（log₂x）的形式选择配方法求得它的最小值及相应的x的值；
（3）由题意f（log₂x）＞f（1）且log₂f（x）＜f（1），解此两不等式即可得到x的值组成的集合．

解答：解：（1）由条件知

f(a)=4 log2a•(log2a-1)=0

⇒

a=2 k=2

      ∴f(x)=x2-x+2，
（2）f(log2x)=log22x-log2x+2=(log2x-

1

2

)2+

7

4

，
当log2x=

1

2

，即x=

2

时，在最小值

7

4

．
（3）由

log22x-log2x＞0 log2(x2-x+2)＜2

⇒

log2x＞1或log2x＜0 0＜x2-x+2＜4

⇒x∈（0，1）．

点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，考查了对数方程的解法，对数不等式的解法及与对数有关的复合函数的最值的求法，涉及到的基本技能较多，解题的关键是熟练掌握对数的单调性及对数的运算，将方程与不等式正确转化求解，属于对数函数有关的综合性较强的题