Question

已知函数f（x）=x+

16

x

+17．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域．
（Ⅱ）解不等式f（x）≤0．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数的值域,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）分x＞0和x＜0两种情况，分别利用基本不等式求得x+

16

x

的范围，可得函数f（x）的值域．
（Ⅱ）用穿根法求得不等式f（x）≤0的解集．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），
当x＞0时，x+

16

x

≥2

x• 16 x

=8，等号在x=

16

x

，即x=4成立．
因函数h(x)=x+

16

x

是奇函数，所以当x＜0时，x+

16

x

≤-8，
所以，函数f（x）的值域是（-∞，9]∪[25，+∞）．
（Ⅱ）∵f(x)=x+

16

x

+17，f（x）≤0，∴x+

16

x

+17≤0，
即

(x+1)(x+16)

x

≤0，用穿根法求得不等式的解集为 x≤-16或-1≤x＜0，
所以，不等式f（x）≤0的解集是（-∞，-16]∪[-1，0）．

点评：本题主要考查利用基本不等式求函数的值域，用穿根法求分式不等式和高次不等式，体现了转化的数学思想，属于基础题．