Question

如图，几何体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ADEF为等腰梯形，AD∥EF，AD=2，AB=AF=1，∠DAF=60°．
（Ⅰ）证明：AF⊥平面CDF；
（Ⅱ）求几何体ABCDEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用线面平行的判定，CD⊥AF，AF⊥DF，∴AF⊥平面CDF；
（Ⅱ）分割成两个棱锥，VC-DEF=

1

3

S△DEF×CD=

1

3

×

1

2

×1×

3

2

×1=

3

12

，V_F-ABCD=

1

3

S_ABCD×d=

1

3

×2×1×

3

2

=

3

3

，然后求和．

解答： 解：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ADEF，CD⊥AD，
∴CD⊥平面ADEF，∴CD⊥AF
又AD=2，AF=1，∠DAF=60°，
由余弦定理知DF=

3

，
∴AF²+DF²=AD²，∴AF⊥DF，
∵DF∩CD=D，
∴AF⊥平面CDF．（6分）
（Ⅱ）在等腰梯形ADEF中，EF=1，两底间的距离d=

3

2

，VC-DEF=

1

3

S△DEF×CD=

1

3

×

1

2

×1×

3

2

×1=

3

12

，
V_F-ABCD=

1

3

S_ABCD×d=

1

3

×2×1×

3

2

=

3

3

，
∴V_ABCDEF=V_C-DEF+V_F-ABCD=

5 3

12

．（13分） （亦可将几何体补成棱柱求解）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及着重考查了利棱锥的体积公式求组合几何体的体积问题，考查空间想象能力、运算能力．