Question

已知f（x）=log_a

x-1

x+1

（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域．
（Ⅱ）证明函数f（x）为奇函数．
（Ⅲ）求使f（x）＞f（-2）成立的x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据对数中的真数大于0，对于函数f（x）需要

x-1

x+1

＞0，解该不等式便得到定义域．
（Ⅱ）根据奇函数的定义，只需求f（-x），看它和f（x）的关系．
（Ⅲ）根据对数函数的单调性，会得到关于x的不等式，解不等式便得x的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）解

x-1

x+1

＞0得：x＞1，或x＜-1；
函数f（x）的定义域是{x|x＞1，或x＜-1}．
（Ⅱ）∵f（-x）=loga

-x-1

-x+1

=loga

x+1

x-1

=loga(

x-1

x+1

)-1=-loga

x-1

x+1

；
∴f（-x）=-f（x）；
∴函数f（x）为奇函数．
（Ⅲ）若0＜a＜1，则由f（x）＞f（-2）得：loga

x-1

x+1

＞loga3；
0＜

x-1

x+1

＜3，解得x＜-2，或x＞1．
若a＞1，则由f（x）＞f（-2）得：

x-1

x+1

＞3，解得-2＜x＜-1．
∴使f（x）＞f（-2）成立的x的取值范围是：当0＜a＜1时是：{x|x＜-2，或x＞1}；
当a＞1时是{x|-2＜x＜-1．

点评：理解真数的定义，奇函数的定义，对数函数的单调性，及熟练掌握对数的运算．