Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n与-3S_n+1的等差中项是-

3

2

（n∈N^*）．
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差中项的性质列出S_n-3S_n+1=-3，再得当n＞1时，S_n-1-3S_n=-3，两式相减后得到数列{a_n}的递推关系，再利用待定系数法构造新的等比数列，利用等比数列的通项公式求出a_n；
（2）把a_n代入b_n=na_n化简后，再由分组求和法、错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：∵S_n与-3S_n+1的等差中项是-

3

2

，
∴S_n-3S_n+1=-3，
当n＞1时，S_n-1-3S_n=-3，两式相减得，
a_n-3a_n+1=-3，即a_n=3a_n+1-3，
设a_n+k=3（a_n+1+k），则a_n=3a_n+1+2k，
∴k=-

3

2

，
∴a_n-

3

2

=3（a_n+1-

3

2

），即

an+1- 3 2

an- 3 2

=

1

3

，
又a₁=1，∴a₁-

3

2

=-

1

2

，
∴数列{a_n-

3

2

}是以-

1

2

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
则a_n-

3

2

=-

1

2

×

1

3n-1

，
即a_n=-

1

2

×

1

3n-1

+

3

2

；
（2）令b_n=n•a_n得，则bn=-

n

2

×

1

3n-1

+

3

2

•n，
∴T_n=-

1

2

（1×

1

30

+2×

1

31

+3×

1

32

+…+n×

1

3n-1

）+

3

2

(1+2+3+…+n)
=-

1

2

（1×

1

30

+2×

1

31

+3×

1

32

+…+n×

1

3n-1

）+

3n(n+1)

4

，
设S=-

1

2

（1×

1

30

+2×

1

31

+3×

1

32

+…+n×

1

3n-1

），
∴

1

3

S=-

1

2

（1×

1

31

+2×

1

32

+3×

1

33

+…+n×

1

3n

）
两式相减得，

2

3

S=-

1

2

（1+

1

31

+

1

32

+…+

1

3n-1

-n×

1

3n

）
=-

1

2

（

1- 1 3n

1- 1 3

-n×

1

3n

）=-

3

4

+

2n+3

4•3n

，
∴S=-

9

8

+

6n+9

8•3n

，
故T_n=-

9

8

+

6n+9

8•3n

+

3n(n+1)

4

．

点评：本题考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，利用待定系数法构造新的等比数列求出通项公式，错位相减法、分组求和法求数列的和，确定数列的通项公式是关键，考查了运算化简能力．