Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}满足：a₁=2，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=

8

an•an+1

，数列{b_n}的前n项和为S_n，当x∈[2，4]时，对于任意的正整数n，不等式x²+mx+m≥S_n恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列和等比数列的通项公式，建立方程关系即可求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项公式，利用裂项法即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列的公差是d，
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，即2，2+d，2+4d成等比数列，
∴（2+d）²=2（2+4d），即d²=4d，解得d=0或d=4，
∵公差d不为0，∴d=4．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+4（n-1）=4n-2，
即的通项公式为a_n=4n-2．
（Ⅱ）∵

bn= 8 an•an+1 = 8 (4n-2)(4n+2) = 2 (2n-1)(2n+1) = 1 2n-1 - 1 2n+1

∴S_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

＜1，
当x∈[2，4]时，对于任意的正整数n，不等式x²+mx+m≥S_n恒成立，
即x²+mx+m≥1，则（x+1）（x-1+m）≥0，
当x∈[2，4]时，x+1＞0，
∴不等式等价为x-1+m≥0，
即m≥1-x在x∈[2，4]时恒成立，
∵1-x∈[-3，-1]
即m≥-1．

点评：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，要求熟练掌握裂项法求和，考查学生的运算能力．