德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著.以其名命名的函数f(x)=1.x∈Q0.x∈∁RQ被称为狄利克雷函数.其中R为实数集.Q为有理数集.则关于函数f(x)有如下四个命题:①f=0,②函数f(x)是偶函数,③任取一个不为零的有理数T.f对任意的x∈R恒成立,④存在三个点A(x1.f(x1)).B(x2.f(x2)).C(x3.f(x3)).使� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=

1，x∈Q

0，x∈∁RQ

被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：
①f（f（x））=0；
②函数f（x）是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；
④存在三个点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC为等边三角形．
其中真命题的个数是（　　）

A、1

B、2

C、3

D、4

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x₁=-

，x₂=0，x₃=

，可得A（

，0），B（0，1），C（-

，0），三点恰好构成等边三角形．

解答： 解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0
∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①不正确；
接下来判断三个命题的真假
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
④取x₁=-

，x₂=0，x₃=

，可得f（x₁）=0，f（x₂）=1，f（x₃）=0
∴A（

，0），B（0，1），C（-

，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
故选：C．

点评：本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．

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