Question

设函数f(x)=1+

2

x

，(x＞0)．
（1）数列{a_n}满足a1=1，an+1=

1

f(an)

，(n∈N+)，求数列{a_n}的通项公式及数列{2ⁿ•a_n•a_n+1}的前n项和；
（2）设函数g(x)=

1

2

(x2+1)•[f(x)-1]，试比较[g（x）]ⁿ+2与g（xⁿ）+2ⁿ（n∈N⁺）的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先判断出数列{

1

an

+1}是以1+

1

a1

为首项公比2的等比数列，进而求出数列{a_n}的通项公式；然后求出数列{2ⁿ•a_n•a_n+1}的通项公式，进而求出它的前n项和；
（2）求出[g（x）]ⁿ+2与g（xⁿ）+2ⁿ的差，判断出它大于或等于0，比较出[g（x）]ⁿ+2与g（xⁿ）+2ⁿ（n∈N⁺）的大小即可．

解答： 解：（1）由题设可知：an+1=

1

f(an)

=

1

1+ 2 an

=

an

2+an

，
变形可得

1

an+1

=1+

2

an

，∴(

1

an+1

+1)=2(

1

an

+1)，
∴数列{

1

an

+1}是以1+

1

a1

为首项公比2的等比数列，
则

1

an

+1=2n-1(

1

a1

+1)=2n，
∴an=

1

2n-1

，
设bn=2n•an•an+1=2n•

1

2n-1

•

1

2n+1-1

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
设S_n为{b_n}的前n项和，
则Sn=b1+b2+…+bn=

1

21-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

=

2n+1-2

2n+1-1

（2）g(x)=

1

2

(x2+1)•

2

x

=x+

1

x

，
则[g(x)]n+2-(g(xn)+2n)=(x+

1

x

)n+2-[(xn+

1

xn

)+2n]=

C

1 n

xn-1•

1

x

+

C

2 n

xn-2•

1

x2

+…+

C

n-1 n

x•

1

xn-1

+2-2n=

1

2

((

C

1 n

xn-1•

1

x

+

C

n-1 n

x•

1

xn-1

)+(

C

2 n

xn-2•

1

x2

+

C

n-2 n

x2•

1

xn-2

)+…+(

C

1 n

xn-1•

1

x

+

C

n-1 n

x•

1

xn-1

))+2-2n≥

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

+2-2n≥2n-2+2-2n=0，
∴[g（x）]ⁿ+2≥[g（xⁿ）]+2ⁿ．

点评：本题主要考查了求数列的通项公式的方法，考查了数列的求和，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．