Question

判断函数y=x³+x的单调性和奇偶性，并证明你的结论．
提示：（a³-b³）=（a-b）（a²+ab+b²））．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数单调性和奇偶性的定义分别进行判断和证明．

解答： 证明：1）设?x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
有f（x₁）-f（x₂）=(x13+x1)-(x23+x2)
=(x13-x23)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1)
=(x1-x2)(x12+x1x2+

1

4

x22+

3

4

x22+1)
=(x1-x2)((x1+

1

2

x2)2+

3

4

x22+1)
∵x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0显然(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x22+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴y=x³+x在R上是增函数
2）观察可知原函数的定义域为R关于原点对称f（-x）=（-x）³+（-x）=-（x³+x）=f（x）
∴y=x³+x为奇函数．

点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．