Question

设数列{a_n}满足：a₁=5，a_n+1+4a_n=5
（Ⅰ）求证：{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）设数列b_n=|a_n|，求|b_n|的前2014项和S₂₀₁₄．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义即可证明{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）求出数列b_n=|a_n|的通项公式，利用分组求和法即可求|b_n|的前2014项和S₂₀₁₄．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=5，a_n+1+4a_n=5，
∴a_n+1=5-4a_n，
即a_n+1-1=-4（a_n-1），
∵a₁-1=5-1=4，
∴{a_n-1}是公比q=-4，首项为4的等比数列；
（Ⅱ）∵{a_n-1}是公比q=-4，首项为4的等比数列；
∴a_n-1=4•（-4）^n-1，即a_n=4•（-4）^n-1+1．
若n为奇数，则b_n=|a_n|=|4•（-4）^n-1+1|=1+4ⁿ，
若n为偶数，则b_n=|a_n|=|4•（-4）^n-1+1|=4ⁿ-1．
则|b_n|的前2014项和S₂₀₁₄=（1+4）+（4²-1）+（1+4³）+…+（1-4²⁰¹³）+（4²⁰¹⁴-1）
=1+4+4²+4³+…+4²⁰¹³+4²⁰¹⁴=

1-42015

1-4

=

42015-1

3

．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式以及前n项和的计算，考查学生的运算能力．