Question

等差数列{a_n}是递增数列，前n项和为S_n，且a₁，a₃，a₉成等比数列，S₅=a₅²．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=

n2+n+1

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项的和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式、前n项和公式和等比数列性质，求出首项和公差，由此能求出
数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由已知条件推导出b_n=

25

9

(1+

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项的和．

解答： 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，（d＞0）
∵a₁，a₃，a₉成等比数列，
∴（a₁+2d）²=a₁（a₁+8d），
整理，得d²=a₁d，
∵d≠0，∴a₁=d，①
∵S5=a52，∴5a₁+

5×4

2

•d=（a₁+4d）²，②
由①②，得：a1=

3

5

，d=

3

5

，
∴an=

3

5

+(n-1)×

3

5

=

3

5

n．
（Ⅱ）b_n=

n2+n+1

an•an+1

=

n2+n+1

3 5 n• 3 5 (n+1)

=

25

9

•

n2+n+1

n(n+1)

=

25

9

(1+

1

n

-

1

n+1

)，
∴b₁+b₂+…+b_n
=

25

9

[n+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

25

9

(n+1-

1

n+1

)
=

25

9

•

n2+2n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．