Question

已知函数f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0），若f（x）在区间[0，3]上有最大值10，最小值2．
（1）求a，b的值；
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先判断出f（x）的对称轴方程，找出它的最大值、最小值，列出方程，即可求出a，b的值；
（2）根据g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是单调函数，判断出其对称轴的范围，然后求出m的取值范围即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0）的对称抽方程是x=1，a＞0，
∴f（x）_min=f（1），f（x）_max=f（3），
 即

a-2a+2+b=2 9a-6a+2+b=10

，
解得a=2，b=2；
（2）由（1）知：f（x）=2x²-4x+4
∴g（x）=2x²-（4+m）x+4
对称轴为：x=

4+m

4

∵g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是单调函数，
∴

4+m

4

≤2或

4+m

4

≥4
解得m≤4或m≥12，
综上，m≤4或m≥12．

点评：此题主要考查了二次函数的性质及其运用，考查了函数单调性的运用，属于中档题．