Question

设函数f（x）=e^x-ln（x+1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知0≤x₁＜x₂．求证：ex2-x1＞ln

e(x2+1)

x1+1

；
（Ⅲ）设g（x）=e^x-

x

x+1

lnx-f（x），证明：对任意的正实数a，总能找到实数m（a），使g[m（a）]＜a成立．注：e为自然对数的底数．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先对函数f（x）求导数，根据导数判断函数f（x）取极值的情况，取到端点值时比较端点值．本题求得导数为：f′（x）=ex-

1

x+1

，这时，如何判断导数的符号，要观察导函数的解析式，会发现x在区间（-1，0）和（0，+∞）这两个区间的导数符号可以判断，所以便找到该函数的单调区间，这时就很容易求出最小值了．
（2）先观察所要正的不等式，发现和函数f（x）的形式相似，所以这时求f（x₂-x₁），并根据单调性得到f（x₂-x₁）＞1．经过求解及变形得到：ex2-x1＞lne(x2-x1+1)，得到这个式子要证原不等式成立，只需证lne(x2-x1+1)＞ln

e(x2+1)

x1+1

，对于这个不等式是比较容易证的．
（3）对任意的正实数a，只要能找到实数m（a），使g[m（a）]＜a即可，所以开始寻找符合条件的实数m（a）．因为只要找到就可以了，为了求解m（a）的方便，我们取x=2ⁿ，看能不能把n找出来，为了求解n的方便，将g（x）化简一下，将它变成g（x）=

lnx

x+1

+ln(1+

1

x

)，x=2ⁿ带入即可．带入之后得到g(2n)=

ln2n

2n+1

+ln(1+

1

2n

)，所以只要让每一项分别小于

a

2

即可．然后得到两个不等式，解出关于n的不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=ex-

1

x+1

；
∴-1＜x＜0时，

1

e

＜ex＜1，

1

x+1

＞1，∴f′（x）＜0；
x＞0时，e^x＞1，0＜

1

x+1

＜1，∴f′（x）＞0，∴x=0时，f（x）取到最小值1．
（Ⅱ）由题意知：x₂-x₁＞0；
∴f（x₂-x₁）＞f（0），即e(x2-x1)-ln(x2-x1+1)＞1，即e(x2-x1)＞lne(x2-x1+1)；
∴要使：e(x2-x1)＞ln

e(x2+1)

x1+1

，我们来证lne(x2-x1+1)＞ln

e(x2+1)

x1+1

；即证x2-x1+1＞

x2+1

x1+1

；
∵x2-x1+1-

x2+1

x1+1

=

x1(x2-x1)

x1+1

＞0；
∴ex2-x1＞ln

e(x2+1)

x1+1

．
（Ⅲ）∵g（x）=

lnx

x+1

+ln(1+

1

x

)；
令x=2ⁿ，则g（2ⁿ）=

ln2n

2n+1

+ln(1+

1

2n

)，(n∈N*)；
要使：g（2ⁿ）＜a，只要

ln2n

2n

＜

a

2

，且ln(1+

1

2n

)＜

a

2

；
由ln(1+

1

2n

)＜

a

2

，解得n＞-log2(e

a

2

-1)；
又当n＞1时，

ln2n

2n+1

=

nln2

(1+1)n+1

＜

2nln2

n(n-1)

=

2ln2

n-1

；
故只需

2ln2

n-1

＜

a

2

，即n＞

4ln2

a

+1；
设n0=max2，-log2(e

a

2

-1)，

4ln2

a

+1；
只需取m（a）=2n0+1时，g（m（a））＜a．

点评：对于第一问，注意通过观察解析式，找到能判断导函数符号的区间即可求出答案．而第二问的关键是求f（x₂-x₁），第三问的关键时取x=2ⁿ，然后找到符合条件的n．