Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分别是线段A₁B和A₁B₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面MON∥平面B₁BCC₁
（Ⅱ）证明：平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结AB₁和B₁C，由已知条件推导出MO∥B₁C，由此能证明MN∥平面B₁BCC₁，从而平面MON∥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）由正方形性质得BD⊥AC，由线面垂直得BD⊥CC₁，从而BD⊥平面A₁ACC₁，由此能证明平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁．

解答： 证明：（Ⅰ）连结AB₁和B₁C，
∵M是BA₁的中点，∴M也是AB₁的中点，
∵O是AC的中点，∴MO∥B₁C，
∵MO不包含于平面B₁BCC₁，B₁C?平面B₁BCC₁，
∴MO∥平面B₁BCC₁，
又∵N是线段A₁B₁的中点，∴MN∥BB₁，
而MN不包含于平面B₁BCC₁，BB₁?平面B₁BCC₁，
∴MN∥平面B₁BCC₁，
又MN∩MO=M，∴平面MON∥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵CC₁⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥CC₁，
∵AC?平面A₁ACC₁，C₁C?平面A₁ACC₁，且AC∩C₁C=C，
∴BD⊥平面A₁ACC₁，
∵BD?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．