Question

命题甲：函数f（x）=x²+（a-1）x+a²在实数集R上没有零点；命题乙：函数f（x）=（2a²-a）^x在R上是增函数．若甲、乙中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：根据二次函数的图象和性质可以求出命题甲：函数f（x）=x²+（a-1）x+a²在实数集R上没有零点时a的取值范围，根据指数函数的单调性与底数的关系，可以求出命题乙：函数y=（2a²-a）^x为R上增函数为真命题时，a的取值范围，依题意，甲、乙至少有一个是真命题，则甲真乙假或甲假乙真，分别解之，取并即可．

解答： 解：若命题甲：函数f（x）=x²+（a-1）x+a²在实数集R上没有零点，
则△=（a-1）²-4a²=-3a²-2a+1＜0，
即3a²+2a-1＞0，
解得a＜-1，或a＞

1

3

；
若命题乙：函数y=（2a²-a）^x为R上的增函数，
则2a²-a＞1，即2a²-a-1＞0，
解得a＜-

1

2

，或a＞1；
∵甲、乙中有且只有一个真命题，
（1）若甲、乙至少有一个是真命题，
∴甲真乙假或甲假乙真．
若甲真乙假，则

a＜-1，或a＞ 1 3 - 1 2 ≤a≤1

，解得

1

3

＜a≤1；
若甲假乙真，则

-1≤a≤ 1 3 a＜- 1 2 ，或a＞1

，解得-1≤a＜-

1

2

．
综上所述，

1

3

＜a≤1或-1≤a＜-

1

2

．
∴实数a的取值范围是[-1，-

1

2

）∪（

1

3

，1]．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查二次函数的图象和性质与指数函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．