Question

已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ACD沿着AC折成120°的二面角，则B，D两点的距离为

 

．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：作出二面角，∴∠DOE=120°，在△DOE中，计算DE² ，在△DEC中，cos∠DEC的值，∠DEB与∠DEC互补，cos∠DEB=-cos∠DEC，在△BDE中，计算DB．

解答： 解：在矩形ABCD中，作DE⊥AC，交AC于O，AB=3，BC=4，∴AC=5，在Rt△ACD中，OD⊥AC，OD=

12

5

，
在Rt△DOC中，OD=

12

5

，CD=3，∴OC=

9

5

，OA=AC-OC=

16

5

，
△AOD∽△COE，对应边成比例得：OE=

27

20

，CE=

9

4

，另BE=BC-CE=

7

4

，
将△ACD沿着AC折成120°的二面角，∠DOE即二面角的平面角，∴∠DOE=120°，在△DOE中，由余弦定理，DE²=OD²+OE²-2OD•OEcos∠DOE=

4329

400

，在△DEC中，cos∠DEC=

DE2+OE2-OD2

2DE•OE

=

306

10 4329

，cos∠DEB=-cos∠DEC，在△BDE中，
DB²=BE²+DE²-2BE•DEcos∠DEB=(

7

4

)2+

4329

400

+2×

7

4

×

4329 400

×

306

10 4329

=

481

25

∴DB=

481

5

．
故答案为

481

5

．

点评：本题考查二面角的平面角计算，作出二面角的平面角，构造三角形，利用余弦定理解决是关键，运算量非常大．