Question

已知f（x）=x²-2ax-8a²（a∈R），则下列四个结论：
①y=f（x）的最小值为-9a²．
②对任意两实数x₁、x₂，都有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

．
③不等式f（x）＜0的解集是（-2a，4a）．
④若f（x）＞x-9a²恒成立，则实数a能取的最大整数是-1．
基中正确的是

 

（多填、少填、错填均得零分）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据二次函数的性质，求出最小值，利用作差法比较f（

x1+x2

2

）和

f(x1)+f(x2)

2

的大小，利用不等式的解法，求解集，利用不等式恒成立的条件，函数的最小值大于x-9a²，求出即可．

解答： 解：∵f（x）=x²-2ax-8a²=（x-a）²-9a²，
∴y=f（x）的最小值为-9a²．
∵f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

=(

x1+x2

2

)2-2a•

x1+x2

2

-8a2-

1

2

（x₁²-2ax₁-8a²+x₂²-2ax₂-8a²）
=-(

x1-x2

2

)2≤0．
∴对任意两实数x₁、x₂，都有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

．
∵x²-2ax-8a²＜0，即（x+2a）（x-4a）＜0，
∴当a＞0时，解集是（-2a，4a）．当a＜0时，解集是（4a，-2a），当a=0时，解集为空集．
∵f（x）＞x-9a²恒成立，则-9a²＞x-9a²，即x＜0，
∴f（x）＞x-9a²恒成立，则实数a能取的最大整数是-1．
故其中正确的是①②④．
故答案为：①②④

点评：本题主要考查了二次函数的性质，有关二次函数的最值，不等式的解法，属于中档题．