Question

已知实数x，y满足

3 x+y=|a-2| y= 9-x2

，则不等式2^|1-a|-1＞a（a-2）成立的概率是（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  3

• C、

  2

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：几何概型,分段函数的应用

专题：不等式的解法及应用,直线与圆,概率与统计

分析：判断（x，y）是直线与半圆的交点，则

|a-2|

2

≤3，解得a的范围．由不等式2^|1-a|≤（1-a）²得2≤|1-a|≤4解出a，由几何概型及对立事件可得所求概率．

解答： 解：

3

x+y=|a-2|表示直线，
y=

9-x2

表示圆心在原点，半径为3的上半圆，
由于直线与半圆有交点，
则

|a-2|

2

≤3，解得-4≤a≤8，
而不等式2^|1-a|-1≤a（a-2）即2^|1-a|≤|1-a|²，
得2≤|1-a|≤4，解得a∈[-3，-1]∪[3，5]，
由几何概型及对立事件可得P=1-

4

12

=

2

3

．
故选C．

点评：本题考查不等式表示的平面区域，考查直线与圆的位置关系，以及不等式的解法，同时考查几何概率的求法，属于中档题．