Question

一个圆锥，它的底面直径和高均为2R
（1）求这个圆锥的表面积和体积；
（2）在该圆锥内作一内接圆柱，当圆柱的底面半径和高分别为多少时，它的侧面积最大？最大值是多少？

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：导数的综合应用,空间位置关系与距离

分析：（1）根据圆锥的体积计算公式：V=

1

3

sh=

1

3

πr²h，解答即可．
（2）作出圆锥的轴截面，设出内接圆柱的高h，底面半径r和体积V；建立V（r）的函数解析式，利用导数的性质求函数V（r）的最大值．

解答： 解：（1）体积：

1

3

sh=

1

3

πr²h=

2

3

πR³．
（2）如图，作出圆锥的轴截面，
设圆柱的高为h，
底面半径为r（0＜r＜R），体积为V，
则

h

2R

=

R-r

R

，
∴h=2（R-r），
∴V=πr²h=2πr²（R-r）．
=2πRr²-2πr³．
∴V′=4πRr-6πr²，
令V′=0，得r=

2

3

R，
∴当r=

2

3

R时，圆柱的体积V取得最大值，
此时圆柱的高h=2（R-

2

3

R）=

2

3

R．
圆柱的体积V的最大值：

8

27

πR3．

点评：本题考查此题考查了圆锥体积计算公式，内接体问题：建立函数模型的能力，通过函数的解析式，利用导数的性质求函数的最值问题，是中档题．