Question

已知（1+2x）ⁿ的展开式中所有项的系数和是243．
（1）求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求S_n=C_n¹+2C_n²+2²C_n³+2³C_n⁴+…+2^n-1C_nⁿ值．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）由条件得：3ⁿ=243，求得 n=5，再根据二项式系数的性质可得展开式中二项式系数最大的项．
（2）由（1）得S_n=S₅=C_n¹+2C_n²+2²C_n³+2³C_n⁴ +2⁴•

C

5 5

=

1

2

[（1+2）⁵-

C

0 5

]，计算求得结果．

解答： 解（1）由条件得：3ⁿ=243，求得 n=5．
∴展开式中二项式系数最大的项是T₃=

C

2 5

•（2x）²=40x²；和 T₄=

C

3 5

•（2x）³=80x³．
（2）由（1）得n=5，S_n=S₅=C_n¹+2C_n²+2²C_n³+2³C_n⁴ +2⁴•

C

5 5

=

1

2

（2C_n¹ +2²C_n²+2³C_n³+2⁴C_n⁴ +2⁵•

C

5 5

）=

1

2

[（1+2）⁵-

C

0 5

]=121．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．