Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点P（0，1），离心率为

2

2

，直线l：y=kx+m交椭圆于不同于点P的两点A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若以AB为直径的圆经过点P，求证：直线l过定点，并求出该点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得b=1，

c

a

=

2

2

，由此能求出椭圆的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程组

y=kx+m x2 2 +y2=1

⇒(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明直线l过定点(0，-

1

3

)．

解答： （1）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点P（0，1），离心率为

2

2

∴b=1，

c

a

=

2

2

，

c2

a2

=

1

2

，

a2-1

a2

=

1

2

，a2=2
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1…（4分）
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组

y=kx+m x2 2 +y2=1

⇒(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0，
△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，
即：2k²-m²+1＞0…（*）
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2(m2-1)

1+2k2

…（6分）y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

-2k2+m2

1+2k2

，y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m=

2m

1+2k2

，
∵k_PA•k_PB=-1，
∴

y1-1

x1

•

y2-1

x2

=-1，…（8分）
即y₁y₂-（y₁+y₂）+x₁x₂+1=0

-2k2+m2

1+2k2

-

2m

1+2k2

-

4km

1+2k2

+1=0，
整理，得：3m²-2m-1=0，
解得m=1（舍）或m=-

1

3

，
∴直线l过定点(0，-

1

3

)．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．