Question

如图1，已知梯形ABCD，AB∥CD，且CD=2AB，E是CD边上的中点，线段AE与BD交于点F．将△ADE沿AE翻折到△AD′E位置，连接D′B和D′C（如图2）．

（Ⅰ）若G是BC中点，求证：EG∥平面BD′F；
（Ⅱ）若AD=BC=AB=2，平面AD′E⊥平面ABCE，求三棱锥D′-BCE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用线面平行的判定，EG∥BF，∴EG∥平面BD'F；
（Ⅱ）先证明D'F⊥平面ABCE，找到棱锥的高，代人体积公式计算．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵在图1中，E、G分别为DC，BC的中点，
∴EG∥BD，即EG∥BF．（3分）
∵EG?平面BD'F，BF?平面BD'F，
∴EG∥平面BD'F．（6分）
（Ⅱ）在图1中，∵AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABED为平行四边形．
∵AB=AD=2，
∴平行四边形ABED为菱形，
∴BD⊥AE，即D'F⊥AE，
∵平面AD'E⊥平面ABCE，且平面AD'E∩平面ABCE=AE，
∴D'F⊥平面ABCE．（9分）
∵BC=CE=BE=2，
∴S△BCE=

3

4

×22=

3

．（10分）
∴V_D'-BCE=

1

3

•S△BCE•D′F=

1

3

×

3

×

3

=1．（13分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，其中（2）的关键是判断出棱锥的高和底面面积，考查空间想象能力，计算能力．