Question

已知向量

m

=（sinx，cosx），

n

=（cosx，

3

cosx），函数f（x）=

m

•

n

-

3

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）如果△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A、B、C，且满足b²+c²=a²+

3

bc，求f（A）的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）l利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出，函数f（x）=

m

•

n

-

3

2

=sin(2x+

π

3

)．再利用周期公式和正弦函数的单调性即可得出．
（2）利用余弦定理、特殊角的正弦函数值即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=

m

•

n

-

3

2

=sinxcosx+

3

cos2x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin(2x+

π

3

)．
∴T=

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ解得-

5π

12

+kπ≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）；
（2）由b²+c²=a²+

3

bc，∴b2+c2-a2=

3

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3 bc

2bc

=

3

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

6

．
∴f（A）=sin(2×

π

6

+

π

3

)=sin

2π

3

=

3

2

．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、周期公式和正弦函数的单调性、余弦定理、特殊角的正弦函数值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．