Question

已知函数f（x）=x-alnx，g(x)=-

1+a

x

，(a∈R)．
（1）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间；
（2）若在区间[1，e]（e=2.718…）上存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间．
（2）先把f（x₀）＜g（x₀）成立转化为h（x₀）＜0，即函数函数h（x）=x+

1+a

x

-alnx在[1，e]上的最小值小于零，再结合（1）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围．

解答： 解（1）∵函数f（x）=x-alnx，g(x)=-

1+a

x

，(a∈R)．
∴h（x）=f（x）-g（x）=x+

1+a

x

-alnx，
∴h′（x）=1-

1+a

x2

-

a

x

=

x2-ax-(1+a)

x2

=

(x+1)[x-(1+a)]

x2

，
①当a+1＞0时，即a＞-1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增．
②当1+a≤0即a≤-1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，
∴函数h（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
（2）在区间[1，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，
即在[1，e]上存在一点x₀，使得h（x₀）＜0，
即函数h（x）=x+

1+a

x

-alnx在[1，e]上的最小值小于零．
由（1）知：
①即1+a≥e，即a≥e-1时，h（x）在[1，e]上单调递减，
∴（1，+∞）的最小值为h（e），由h(e)=e+

1+a

e

-a＜0，得a＞

e2+1

e-1

，
∵

e2+1

e-1

＞e-1，∴a＞

e2+1

e-1

；
②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，
所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜-2；
③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e-1时，可得h（x）最小值为h（1+a），
因为0＜ln（1+a）＜1，
所以，0＜aln（1+a）＜a
故h（1+a）=2+a-aln（1+a）＞2
此时，h（1+a）＜0不成立．
综上讨论可得所求a的范围是：a＞

e2+1

e-1

或a＜-2．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质、等价转化思想、分类讨论思想的合理运用．