Question

已知四边形ABCD是矩形，AB=

2

，BC=

6

，将△ABC沿着对角线AC折起来得到△AB₁C，且顶点B₁在平面AB=CD上射影O恰落在边AD上，如图所示．
（1）求证：AB₁⊥平面B₁CD；
（2）求三棱锥B₁-ABC的体积V_B1-ABC．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用线面垂直的判定，AB₁⊥CD，又AB₁⊥B₁C，且B₁C∩CD=C∴AB₁⊥平面B₁CD；（2）AB₁⊥平面B₁CD，AB₁即棱锥的高，后算出底面ABC的面积，代人棱锥体积公式计算．

解答： 解：（1）B₁O⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴B₁O⊥CD，又CD⊥AD，AD∩B₁O=O
∴CD⊥平面AB₁D，又AB₁?平面AB₁D
∴AB₁⊥CD，又AB₁⊥B₁C，且B₁C∩CD=C
∴AB₁⊥平面B₁CD；           …（6分）
（2）由于AB₁⊥平面B₁CD，B₁D?平面ABCD，∴AB₁⊥B₁D，
在Rt△AB₁D中，B₁D=

AD2-AB12

=2，
又由B₁O•AD=AB₁•B₁D 得B1O=

AB1•B1D

AD

=

2 3

3

，
∴V_B1-ABC=

1

3

S_△ABC•B₁O=

1

3

×

3

×

2 3

3

=

2

3

…12分

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（1）的关键是熟练掌握线面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，（2）的关键是判断出棱锥的高和底面面积．