Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+a_n+1=4n，S_n是数列{a_n}的前n项和．数列{b_n}前n项的积为T_n，且Tn=2

n(n+1)

2

（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在常数a，使得{S_n-a}成等差数列？若存在，求出a，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）是否存在m∈N*，满足对任意自然数n＞m时，b_n＞S_n恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）证明数列{a_n}隔项成等差数列，利用Tn=2

n(n+1)

2

，即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用反证法，即可判断；
（Ⅲ）当n＞4时，2ⁿ＞n²，利用二项式定理进行证明．

解答： 解：（Ⅰ）由题知a_n+a_n+1=4n，∴a_n+1+a_n+2=4（n+1），∴a_n+2-a_n=4
即数列{a_n}隔项成等差数列，…1分
又a₁=1⇒a_n=3
∴当n为奇数时，an=a1+4(

n+1

2

-1)=2n-1，
当n为偶数时，an=a2+4(

n

2

-1)=2n-1…2分
∴对一切n∈N^*，a_n=2n-1…3分
又b₁=T₁=2，当n≥2时bn=

Tn

Tn-1

=2n，且n=1时满足上式，
∴对一切n∈N*，bn=2n…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n-1，数列{a_n}成等差数列，
∴Sn=

(a1+an)

2

=n2
∴Sn-a=n2-a，Sn+1-a=(n+1)2-a，Sn+2-a=(n+2)2-a…7分
若存在常数a，使得{S_n-a}成等差数列，则2（S_n+1-a）=（S_n-a+（S_n+2-a）在n∈N^*时恒成立
即2[（n+1）²-a]=n²-a+（n+2）²-a⇒4=2
∴不存在常数a 使数列{S_n-a}成等差数列 …9分
（Ⅲ）存在m=4使得当n＞4时，b_n＞S_n恒成立，
即当n＞4时，2ⁿ＞n²，证明如下：
2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

+＞2（1+

C

1 n

+

C

2 n

）=2+2n+n（n-1）=n²+n+2＞n²．…13分．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．