Question

设函数f（x）=ax²-ax-lnx．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥1时恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）通过求函数导数，然后判断f′（x）的符号即可．
（2）因为1=f（0），条件变成当x≥1时恒有f（x）≥f（1），所以要考虑用函数的单调性来找a的取值范围，所以先求f′（x）=2ax-a-

1

x

=

2ax2-ax-1

x

，为了判断f′（x）的符号，令g（x）=2ax²-ax-1，下面讨论a判断函数g（x）的符号即可．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=x²-x-lnx，（x＞0）；
∴f′（x）=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

；
∴x∈（-∞，-

1

2

）时，f′（x）＞0；x∈（-

1

2

，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
∴（-∞，-

1

2

]，（1，+∞）是函数f（x）的单调递增区间；(-

1

2

，1]是单调递减区间．
（2）f′（x）=2ax-a-

1

x

=

2ax2-ax-1

x

；
令g（x）=2ax²-ax-1=a（2x²-x）-1；
①当a＞0时，g′（x）=4ax-a=a（4x-1）＞0；
∴g（x）在[1，+∞）上是增函数．
∴g（x）_min=g（1）=a-1．
当a≥1时，g（x）_min≥0；
∴f′（x）≥0，∴函数f（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴f（x）≥f（1）=0；
∴a≥1满足题意．
当0＜a＜1时，g（x）_min＜0，∴函数g（x）有唯一的零点，设为x₀，则：
x∈（1，x₀），g（x）＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，x₀）上单调递减；
∴f（x）＜f（1）=0，∴0＜a＜1不合题意．
②当a≤0时，g（x）＜0，∴f′（x）＜0；
∴函数f（x）∴在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）＜f（1）=0，∴a≤0不合题意．
综上可知：a的取值范围是[1，+∞）．

点评：第一问是用导数寻找函数的单调区间，第二问也是用导数判断单调性的问题，而比较关键的一步是设函数g（x），判断g（x）的单调性，判断g（x）的符号，从而判断f′（x）的符号，判断函数f（x）的单调性．