Question

双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂：x²=-2py（p＞0）的焦点为F，C₁与C₂的一个交点为A，知A在x轴上的射影为F₁，且A、F、F₂三点共线，则双曲线C₁的离心率为

 

．

Answer 1

分析：先求出F₁、F₂，F点的坐标，根据A在x轴上的射影为F₁以及A在抛物线上求出A的坐标；再根据A、F、F₂三点共线，求出c=

2

p；再结合A在双曲线上以及a²+b²=c²即可求出双曲线C₁的离心率．

解答：解：由题可设：F₁（-c，0），F₂（c，0），F（0，-

p

2

）．
∵A在x轴上的射影为F₁，
∴A的横坐标为-c，代入抛物线方程得A（-c，-

c2

2p

）．
∵A、F、F₂三点共线，
∴KAF=KFF2?

c2 2p

- p 2 +c

=

p 2

c

?c=

2

p   ①．
因为A在双曲线上，所以：

c2

a2

-

(- c2 2p )2

b2

=1     ②
又∵a²+b²=c²  ③
联立 ①②③解得：c=

2

a．
∴e=

c

a

=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键点在于利用A在x轴上的射影为F₁以及A在抛物线上求出A的坐标；再根据A、F、F₂三点共线，求出c=

2

p．