Question

已知函数f（x）=x²+1．
（1）用定义证明f（x）是偶函数；
（2）用定义证明f（x）在[0，+∞）上是增函数；
（3）在给定的坐标系中画出f（x）的图象，写出函数f（x）在x∈[-1，2]上的最大值是________与最小值是________．

Answer 1

解：（1）证明：f（x）=x²+1是R上的函数，
f（-x）=（-x）²+1=x²+1
即f（x）=f（-x）所以f（x）是偶函数
（2）证明：任取x₁，x₂使0≤x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）
=（x₁²+1）-（x₂²+1）=（x₁-x₂）（x₁+x₂）
∵0≤x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0；x₁+x₂＞0；
（x₁-x₂）（x₁+x₂）＜0
f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数；
（3）如图所示：
最大值为5，最小值为0
分析：（1）由偶函数的定义直接证明即可．
（2）首先在[0，+∞）上任取两个自变量，然后利用做差法比较对应函数值的大小即可．
（3）由二次函数的图象直接作出图象即可．由图象可看出最大值和最小值．
点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，以及函数的最值和图象．难度不大．