Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．

（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：；

（3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据题意，写出双曲线的左顶点，求出直线的方程，联立求得三角形顶点坐标，之后利用三角形的面积公式求得结果.

（2）设直线的方程为，通过直线与已知圆相切，得到，通过求解.证明.

（3）当直线垂直轴时，直接求出到直线的距离为.当直线不垂直轴时，设直线的方程为：，（显然），推出直线的方程为，求出，，设到直线的距离为，通过，求出.推出到直线的距离是定值.

（1）根据题意可得的左顶点为，

设直线方程为，

与另一条渐近线联立求得交点坐标为，

所以对应三角形的面积为；

（2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，

故，即，

由得，

设，，则，，

则，

故；

（3）当直线ON垂直于x轴时，，，

则O到直线MN的距离为．

当直线不垂直于轴时，

设直线的方程为（显然），

则直线的方程为.

由与椭圆方程联立，

得，，所以.

同理.

设O到直线MN的距离为d，

则由，

得．

综上，O到直线MN的距离是定值.