Question

已知函数满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有λ(x₁－x₂)²≤(x₁－x₂)[f(x₁)－f(x₂)]和|f(x₁)－f(x₂)|≤|x₁－x₂|，其中λ是大于0的常数．设实数a₀，a，b满足f(a₀)=0和b=a－λf(a)

(Ⅰ)证明λ≤1，并且不存在b₀≠a₀，使得f(b₀)=0；

(Ⅱ)证明(b－a₀)²≤(1－λ²)(a－a₀)²；

(Ⅲ)证明[f(b)]²≤(1－λ²)[f(a)]²．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力． 　　证法一：(I)任取 和② 可知， 从而．假设有①式知 ∴不存在 (II)由③ 可知④ 由①式，得⑤ 由和②式知，⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 (III)由③式可知 (用②式) (用①式) 　　证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数以及它们的抽象函数值．参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪．因而解决问题的关键就在于“消元”——把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几个特定变量来表示，然而再进行运算证明．“消元”的模式并不难唯一，这里提供一个与标准解答不同的“消元”设想，供参考． 题设中两个主要条件是关于与的齐次式．而点、是函数图象上的两个点，是连接这两点的弦的斜率．若欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，则可以借助斜率进行“整体消元”． 设为不相等的两实数，则由题设条件可得： 和． 令， 则对任意相异实数，有及，即． 由此即得；又对任意有，得函数在R上单调增，所以函数是R上的单调增函数． 如果，则，因为，所以．即不存在，使得．于是，(Ⅰ)的结论成立． 考虑结论(Ⅱ)： 因为，故原不等式为 ； 当时，左右两边相等； 当时，，且，则原不等式即为： ， 令，则原不等式化为，即为． 因为，则，所以成立，即(Ⅱ)中结论成立． 再看结论(Ⅲ)： 原不等式即， 即，注意到，则，则原不等式即为 即，令，则原不等式即化为 ，即，因为，则，所以 成立，即(Ⅲ)的结论成立． 在一般的“消元”方法中，本题三个小题中不等关系的证明过程差异较大．尤其是(Ⅱ)与(Ⅲ)，许多尖子学生证明了(Ⅱ)的结论而不能解决(Ⅲ)． 借助斜率k“整体消元”的想法把(Ⅱ)、(Ⅲ)中的不等关系都转化为相同的不等关系，然后由条件推证，有独到之处．