Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一段图象如图所示
（1）求f（x）的解析式；
（2）把f（x）的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？

Answer 1

分析：（1）由图知A=3，由

3

4

T=

15π

4

，可求ω，其图象过（

π

4

，0），可求φ；
（2）由f（x+m）=3sin[

2

5

（x+m）-

π

10

]为偶函数，可求得m=

5

2

kπ+

3π

2

，k∈Z，从而可求m_小．

解答：解：（1）A=3…（1分）

3

4

T=4π-

π

4

=

15π

4

，即

2π

ω

=

4

3

（4π-

π

4

）=5π…（2分）
∴ω=

2

5

…（3分）
于是f（x）=3sin（

2

5

x+φ），
又其图象过（

π

4

，0），
得sin（

π

10

+φ）=0，φ=-

π

10

…（5分）
∴f（x）=3sin（

2

5

x-

π

10

）…（6分）
（2）由f（x+m）=3sin[

2

5

（x+m）-

π

10

]=3sin（

2

5

x+

2m

5

-

π

10

）为偶函数（m＞0）…（8分）
知

2m

5

-

π

10

=kπ+

π

2

，即m=

5

2

kπ+

3π

2

，k∈Z…（10分）
∵m＞0，
∴m_小=

3π

2

．…（12分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．