Question

已知函数f(x)=cos(

π

3

x+

π

3

)-2cos2

π

6

x．
（1）求函数f（x）的周期T；
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+…+g（2013）的值．

Answer 1

分析：（1）通过两角和与差的余弦函数以及二倍角公式化简函数的表达式，通过函数的周期求函数f（x）的周期T；
（2）利用函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于y轴对称，求出g（x）的表达式，求出函数一个周期内的函数值，然后求g（1）+g（2）+…+g（2013）的值．

解答：解：（1）f(x)=cos(

π

3

x+

π

3

)-2cos2

π

6

x
=

1

2

cos

π

3

x-

3

2

sin

π

3

x-cos

π

3

x-1
=-

1

2

cos

π

3

x-

3

2

sin

π

3

x-1
=-sin（

π

3

x+

π

6

）-1，…（4分）
故T=6．…（6分）
（2）∵函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于y轴对称，
∴g（x）=f（-x）=sin（

π

3

x-

π

6

）-1，
又∵T=6．…（8分）
g（1）=sin（

π

3

×1-

π

6

）-1=-

1

2

．g（2）=sin（

π

3

×2-

π

6

）-1=0，g（3）=sin（

π

3

×3-

π

6

）-1=-

1

2

∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）=-6 …（10分）
∴g（1）+g（2）+…+g（2013）=-6×335+g（1）+g（2）+g（3）=-2011 …（12分）．

点评：本题考查两角和与差的三角函数以及二倍角公式的应用三角函数的周期以及函数值的求法，考查计算能力．