Question

已知函数f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R）为偶函数
（1）求a的值
（2）若x∈（0，+∞）时总有f（x）-（1-m）x²＞0成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x）对x∈R恒成立，再用待定系数法求解，已经知道性质，也可以用特殊值求解．（2）不等式即为x²+|x|+1-（1-m）x²＞0，并去绝对值转化为mx²+x+1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立．然后令g（x）=mx²+x+1，
x∈（0，+∞）求其最小值可即可，要注意分类讨论．

解答：解：（1）法一：因为函数f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）对x∈R恒成立，
即有x²+|x-a|+1=x²+|x+a|+1，化为|x-a|=|x+a|对任意实数x恒成立，
平方得（x-a）²=（x+a）²，即4ax=0，所以a=0．（5分）
（若直接由|x-a|=|x+a|得a=0扣2分）
法二：由f（1）=f（-1）得|1-a|=|1+a|，得a=0．（3分）
此时f（x）=x²+|x|+1，满足f（-x）=f（x），
所以a=0时，f（x）为偶函数．（5分）
（2）不等式即为x²+|x|+1-（1-m）x²＞0，
即不等式mx²+x+1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立．
设g（x）=mx²+x+1，x∈（0，+∞）．
①当m=0时，g（x）=x+1＞0在（0，+∞）上恒成立；（7分）
②当m＜0时，抛物线开口向下，不等式不可能恒成立；（10分）
③当m＞0时，对称轴x=-

1

2m

＜0，
又因为g（0）=1＞0，所以不等式恒成立．（14分）
综上得m≥0．（15分）

点评：本题主要考查利用奇偶性求参数的值一般用待定系数法，还考查了不等式恒成立问题，一般转化为函数求最值问题．