Question

5．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AC=2，AD=2$\sqrt{2}$，点E是线段AB上靠近B点的三等分点，点F、G分别在线段PD、PC上．
（Ⅰ）证明：CD⊥AG；
（Ⅱ）若三棱锥E-BCF的体积为$\frac{1}{6}$，求$\frac{FD}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥AC，AC⊥CD，PA⊥CD，从而CD⊥平面PAC，由此能证明CD⊥AG．
（Ⅱ）设点F到平面ABCD的距离为d，由${V}_{E-BCF}={V}_{F-BEC}=\frac{1}{3}{S}_{△BEC}•d$=$\frac{1}{6}$，能求出d，由此能求出$\frac{FD}{PD}$的值．

解答 证明：（Ⅰ）∵棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA=AB=AC=2，AD=2$\sqrt{2}$，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵AB∥CD，∴AC⊥CD，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，
∵AG?平面PAC，∴CD⊥AG．
解：（Ⅱ）设点F到平面ABCD的距离为d，
${S}_{△BEC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{3}$，
∴由${V}_{E-BCF}={V}_{F-BEC}=\frac{1}{3}{S}_{△BEC}•d$=$\frac{1}{6}$，
解得d=$\frac{3}{4}$，∴$\frac{FD}{PD}=\frac{d}{PA}$=$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．