Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，点$（1，\;\frac{3}{2}）$在C上．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过原点且不与坐标轴重合的直线l与C有两个交点A，B，点A在x轴上的射影为M，线段AM的中点为N，直线BN交C于点P，证明：直线AB的斜率与直线AP的斜率乘积为定值．

Answer 1

分析 （I）求出C的焦点坐标为（±1，0），推出a，b，即可求解椭圆方程．
（II）设A（x₁，y₁），P（x₂，y₂）（x₁≠x₂），则$B（{-{x_1}，-{y_1}}），\;N（{x_1}，\frac{y_1}{2}）$，利用平方差法求解${k_{BN}}=\frac{{\frac{3}{2}{y_1}}}{{2{x_1}}}=\frac{3}{4}•\frac{y_1}{x_1}$，${k_{BP}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}$．利用B，N，P三点共线，所以k_BN=k_BP，转化求解即可．

解答 解：（I）由题意知，C的焦点坐标为（±1，0），…（1分）
$2a=\sqrt{{2^2}+{{（\frac{3}{2}）}^2}}+\sqrt{0+{{（\frac{3}{2}）}^2}}=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=4$，$b=\sqrt{3}$．…（3分）
所以，椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（II）设A（x₁，y₁），P（x₂，y₂）（x₁≠x₂），则$B（{-{x_1}，-{y_1}}），\;N（{x_1}，\frac{y_1}{2}）$
由点A，P在椭圆C上得，$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\\ \frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1\end{array}\right.$，两式相减得，$\frac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}=-\frac{3}{4}$．…（7分）
${k_{BN}}=\frac{{\frac{3}{2}{y_1}}}{{2{x_1}}}=\frac{3}{4}•\frac{y_1}{x_1}$，${k_{BP}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}$．
因为B，N，P三点共线，所以k_BN=k_BP，即$\frac{y_1}{x_1}=\frac{4}{3}•\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}$．…（9分）
∴${k_{AB}}•{K_{AP}}=\frac{y_1}{x_1}•\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{3}•\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}•\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{4}{3}•\frac{y_1^2-y_1^2}{x_1^2-x_1^2}=-1$，为定值．…（12分）

点评 本题考查椭圆的简单性质的与，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．