Question

2．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是B₁C₁、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A₁A=4，A₁E=$\sqrt{14}$．
（Ⅰ）证明：A₁D⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角A-BD-B₁的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）先证AE⊥平面A₁BC，再证A₁D∥AE即可‘’
（2）所求值即为平面A₁BD的法向量与平面B₁BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．

解答 证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是B₁C₁、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴A₁D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=$\sqrt{2}$，
∵A₁A=4，A₁E=$\sqrt{14}$．
∴A₁E²+AE²=$A{{A}_{1}}^{2}$，∴AE⊥A₁E，
∵A₁E∩BC=E，∴AE⊥平面A₁BC，
∵A₁D∥AE，∴A₁D⊥平面A₁BC．
解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA₁所在直线分别为x、y、z轴建系．
易知A₁（0，0，$\sqrt{14}$），B（$\sqrt{2}$，0，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），
A（0，$\sqrt{2}$，0），D（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{14}$），B₁（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{14}$），
设平面A₁BD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{14}z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}=（\sqrt{7}，0，1）$．
设平面B₁BD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{14}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（0，\sqrt{7}，1）$．
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}=\frac{1}{8}$
又∵该二面角为钝角，
∴二面角A₁-BD-B₁的平面角的余弦值为-$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．