Question

如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论：
①A′C⊥BD；　　
②CA′与平面A′BD所成的角为30°；
③∠BA′C=90°；　　
④四面体A′-BCD的体积为．
其中正确的有

1. A.
   4个
2. B.
   3个
3. C.
   2个
4. D.
   1个

Answer 1

D
分析：根据题意，依次分析命题：对于①可利用反证法说明真假，若①成立可得BD⊥A'D，产生矛盾；对于②由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知②的真假；对于③△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根据线面垂直可知∠BA′C=90°，对于④利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．
解答：若①成立可得BD⊥A'D，产生矛盾，故①不正确；
由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知②不正确；
由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是③正确；
，④不正确．
其中正确的有1个
故选D．
点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．