Question

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a＞

  1

  3

  或a＜-

  1

  3

• B、a＜

  1

  3

• C、a≠

  1

  3

• D、a＜-

  1

  3

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：直线x+y+m=0得直线斜率k=-1，若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则等价为f′（x）≠-1，恒成立，解不等式即可得实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=x³-3ax，
则函数的导数f′（x）=3x²-3a≥-3a，
∵对任意实数m，直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，
∴-3a＞-1，
即实数a的取值范围为a＜

1

3

．
故选：B

点评：本题主要考查导数的几何意义，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．