Question

已知正四面体A-BCD的棱长为a，且a∈{x|x²-6x+5≤0}，则

AB

•（

AC

+

AD

）≥4的概率为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、

  2

  4

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：解三角形,平面向量及应用,概率与统计

分析：根据已知条件求得棱长a所在的区间为[1，5]，然后求出

AB

•(

AC

+

AD

)=a²，所以由

AB

•(

AC

+

AD

)≥4得a≥2，且a≤5，即a∈[2，5]，所以根据几何概型的概率公式得：P=

5-2

5-1

=

3

4

．

解答： 解：取CD的中点E，连接AE，BE，则AE=BE=

3

2

a，又AB=a；
∴由余弦定理得：cos∠BAE=

a2+( 3 a 2 )2-( 3 a 2 )2

2a• 3 a 2

=

1

3

；
又

AC

+

AD

=2

AE

，∴

AB

•(

AC

+

AD

)=2a•

3 a

2

•

1

3

=a2；
∵a∈{x|x²-6x+5≤0}=[1，5]
∴棱长a所在的区间为[1，5]，由

AB

•(

AC

+

AD

)≥4得a²≥4，∴a≥2，且a≤5，即

AB

•(

AC

+

AD

)≥4所对应的棱长a所在区间为[2，5]；
∴根据几何概型的概率公式得，

AB

•(

AC

+

AD

)≥4的概率为：

5-2

5-1

=

3

4

．
故选D．

点评：本题考查正四面体的图形特点，向量加法的平行四边形法则，余弦定理，向量的数量积，几何概型的概率公式．