Question

四棱锥P-ABCD底面是平行四边形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=

1

2

AD，∠BAD=60°，E，F分别为AD，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求二面角D-PA-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PB中点G，连结FG，AG，证明FG和AE平行且相等，AEFG为平行四边形，可得EF∥AG．再利用直线和平面平行的判定定理证得EF∥平面PAB．
（2）取PA的中点N，连接BN，DN，∠ANB=θ是二面角D-PA-B的平面角，即可得出结论．

解答： （1）证明：取PB中点G，连结FG，AG，
∴FG平行且等于

1

2

BC，AE平行且等于

1

2

BC，
∴FG和AE平行且相等，
∴AEFG为平行四边形，
∴EF∥AG．
∵AG?平面PAB，而EF不在平面PAB内，
∴EF∥平面PAB．-------（6分）
（2）解：取PA的中点N，连接BN，DN---（8分）
∵△PAB是等边三角形，∴BN⊥PA，
∵Rt△PBD≌Rt△ABD，∴PD=AD，∴AN⊥PB，
设∠ANB=θ是二面角D-PA-B的平面角--（10分）
∴BD⊥面PAB，BD⊥BN，
在Rt△DBN中，BD=

3

AB=2BN，-------------（12分）
tanθ=

BD

BN

=2，cosθ=

5

5

，
∴二面角D-PA-B的余弦值为：

5

5

---------（14分）

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，直线和平面垂直的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．