Question

已知平面上三点A，B，C满足

BC

=（2-k，3），

AC

=（2，4）
（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，求实数k的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据条件可得A，B，C三点共线，所以存在实数λ，有

BC

=λ

AC

，带入坐标即可求k．
（2）△ABC为直角三角形，所以两条直角边相互垂直，所以对应的两个向量的数量积为0，从而求出k的值，显然需要讨论哪个角为直角．

解答： 解：（1）∵A，B，C三点不能构成三角形，∴三点A，B，C共线；
∴存在实数λ，使

BC

=λ

AC

；
∴

2-k=2λ 3=4λ

，解得k=

1

2

．
∴k满足的条件是：k=

1

2

．
（2）

AB

=

CB

-

CA

=(k-2，-3)-(-2，-4)=（k，1）
∵△ABC为直角三角形；
∴若∠A是直角，则

AB

⊥

AC

，∴

AB

•

AC

=2k+4=0，∴k=-2；
若∠B是直角，则

AB

⊥

BC

，∴

AB

•

BC

=-k2+2k+3=0，解得k=-1，或3；
若∠C是直角，则

AC

⊥

BC

，∴

AC

•

BC

=4-2k+12=0，解得k=8．
综上可得k的值为：-2，-1，3，8．

点评：本题考查的知识点为：共线向量基本定理，向量的相等，数量积的坐标运算，相互垂直的两向量的数量积为0，注意第二问对于角为直角的讨论．