Question

已知f（x）=log₂

1+x

1-x

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数奇偶性并给予证明；
（3）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：对数函数的单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求根据对数函数的性质即可求函数f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数奇偶性；
（3）根据复合函数单调性之间的关系即可求函数f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）要使函数有意义，则

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，
即函数f（x）的定义域为（-1，1），
（2）函数为奇函数，∵函数的定义域关于原点对称，
∴f（-x）=log₂

1-x

1+x

=f（x）=log₂（

1+x

1-x

）^-1=-log₂

1+x

1-x

=-f（x），
故函数f（x）是奇函数；
（3）设t=

1+x

1-x

=-

x+1

x-1

=-

x-1+2

x-1

=-1-

2

x-1

．
则当-1＜x＜1时，函数t=

1+x

1-x

单调递增，而函数y=log₂t单调递增．
则根据复合函数单调性之间的关系可知此时函数f（x）=log₂

1+x

1-x

单调递增，
故函数的单调递增区间为（-1，1）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，综合考查了函数的定义域，奇偶性和单调性的判断．