Question

命题p：不等式|x-1|+|x-3|＞a对一切实数x都成立；命题q：函数f（x）=x³+2x²在[a，a+1]上单调递减．若命题p或q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：利用三角绝对值不等式可求得命题p真时a＜2；利用导数法可求得命题q真时-

4

3

≤a≤-1；由命题p或q为真即可求得，实数a的取值范围．

解答： 解：∵|x-1|+|x-3|≥|（x-1）+（3-x）|=2，
∴a＜2；
又f（x）=x³+2x²在[a，a+1]上单调递减，
∴f′（x）=3x²+4x≤0在[a，a+1]上恒成立，即

3a2+4a≤0 3(a+1)2+4(a+1)≤0

，
解得：-

4

3

≤a≤-1；
∵命题p或q为真，∴命题p与命题q必有一真．
又[-

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，-1]?（-∞，2），
∴命题p真时，a＜2；
命题p假q真时，a∈∅，
∴a＜2．

点评：本题考查绝对值不等式的应用，考查转化思想与恒成立问题，考查逻辑联接词的理解与综合应用，属于难题．