Question

已知函数f（x）=

a+lnx

x

（a∈R）．
（Ⅰ）若a=4，求曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）若a=4，求函数的导数，利用导数的几何意义求曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）根据函数极值和导数之间的关系即可求f（x）的极值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=4，
∴f（x）=

a+lnx

x

=

4+lnx

x

，则f（e）=

5

e

．
又∵f′（x）=

-3-lnx

x2

，
∴f′（e）=

-3-lne

e2

=-

4

e2

，
∴f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：y-

5

e

=-

4

e2

(x-e)，
即4x+e²y-9e=0． 
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=

1-(lnx+a)

x2

，由f′（x）＞0得0＜x＜e^1-a，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得x＞e^1-a，此时函数单调递减，
∴当x=e^1-a时，函数f（x）取得极大值f（e^1-a）=e^a-1．

点评：本题主要考查函数的切线方程以及函数的极值，要求熟练掌握函数导数的应用．